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第165章 蒙日圆（第1页）

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f（x+y）=f（x）+f（y）

此方程的解称为加性函数，在有理数定义域上，利用初等代数我们很容易得出有一组函数满足条件，是f（x）=cx，其中c是任意实数。定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的，所以我们需要更多的条件得到f（x）=cx，以下条件可得f（x）是正比例函数：

◎f是连续函数（在1821年已被柯西证明），后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。

◎存在a，b∈R，（a

◎f单调，或f在某开区间单调。

◎存在ε1>0，使得x∈[0，ε1]，有f（x）≥0，或者存在ε2>0，使得x∈[0，ε2]，有f（x）≤0

另外，如果没有其他条件的话，（假如承认选择公理成立），那么有无穷非f（x）=cx的函数满足该条件，这是1905年哈默（GeorgHamel）利用哈默基的概念证明的。

希尔伯特第五问题是该方程的推广

存在实数c使得f（cx）≠cf（x）解称为柯西-哈默方程（Cauchy-Hamelfunction），希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（Dehn-Hadwigerinvariant（s）），其中就用到柯西-哈默方程。

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