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代数学基本定理:任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1),由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根(重根按重数计算)。
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。据说,关于代数学基本定理的证明,现有200多种证法。迄今为止,该定理尚无纯代数方法的证明。
大数学家J.P.塞尔曾经指出:代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家JohnWillardMilnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明,但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。
复变函数论中,对代数基本定理的证明是相当优美的,其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但证明不完整。接着,欧拉也给出了一个证明,但也有缺陷,拉格朗日于1772年又重新证明了该定理,后经高斯分析,证明仍然很不严格的。
代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)。
后来有几种证明方法,复分析证明,拓扑学证明和代数证明。
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